Question

Помогите пожалуйста!!!
Докажите тождество:номера 9,10,11

Answer 1

$9); ; frac{1+sina}{1+cosa}cdot frac{1+frac{1}{cosa}}{1+frac{1}{sina}}=frac{1+sina}{1+cosa}cdot frac{frac{cosa+1}{cosa}}{frac{sina+1}{sina}}=frac{1+sina}{1+cosa}cdot frac{(1+cosa)cdot sina}{(1+sina)cdot cosa}=\\=frac{sina}{cosa}=tga; ; ,; ; tga=tga; .$

$10); ; frac{sin^4a-cos^4a+cos^2a}{2, (1-cosa)}=frac{(sin^2a-cos^2a)(sin^2a+cos^2a)+cos^2a}{2, (1-cosa)}=\\=frac{sin^2a-cos^2a+cos^2a}{2cdot 2sin^2frac{a}{2}}=frac{sin^2a}{4cdot sin^2frac{a}{2}}=frac{(2sinfrac{a}{2}cdot cosfrac{a}{2})^2}{4sin^2frac{a}{2}}=frac{4sin^2frac{a}{2}cdot cos^2frac{a}{2}}{4sin^2frac{a}{2}}=\\=cos^2frac{a}{2}=frac{1+cosa}{2}=frac{1}{2}, (1+cosa); .$

$frac{1}{2}, (1+cosa)=frac{1}{2}, (1+cosa)\\star ; ; sin^2a+cos^2a=1; ; star \\star ; ; cos2a=cos^2a-sin^2a=cos^2a-(1-cos^2a)=2cos^2a-1; Rightarrow$

$cos^2a=frac{1+cos2a}{2}; ; Rightarrow ; ; cos^2frac{a}{2}=frac{1+cosa}{2}; ; star \\star sin^2a=frac{1-cos2a}{2}; ; Rightarrow ; ; sin^2frac{a}{2}=frac{1-cosa}{2}; ; star \\star ; ; sin2a=2, sinacdot cosa; ; Rightarrow ; ; sina=2, sinfrac{a}{2}cdot cosfrac{a}{2}; ; star \\11); ; frac{1}{4, sin^2acdot cos^2a}-frac{(1-tg^2a)^2}{4, tg^2a}=frac{1}{(2, sinacdot cosa)^2}-frac{left(1-frac{sin^2a}{cos^2a}right )^2}{4tg^2a}=$

$=frac{1}{sin^22a}-frac{frac{(cos^2a-sin^2a)^2}{cos^4a}}{4cdot frac{sin^2a}{cos^2a}}=frac{1}{sin^22a}-frac{frac{cos^22a}{cos^4a}}{4cdot frac{sin^2a}{cos^2a}} =frac{1}{sin^22a}-frac{cos^22acdot cos^2a}{4cdot sin^2acdot cos^4a}=\\=frac{1}{sin^22a}-frac{cos^22a}{4, sin^2acdot cos^2a}=frac{1}{sin^22a}-frac{cos^22a}{sin^22a}=frac{1-cos^22a}{sin^22a}=frac{sin^22a}{sin^22a}=1; ,\\1=1$