Question

Сравнить
log5 3 и 2/3

Answer 1

Представим число 2/3 в виде логарифма по основанию 5:

$log_5 5^{frac{2}{3}}$

Теперь нужно сравнить $log_5 3$ и $log_5 5^{frac{2}{3}}$

Так как основания у логарифмов равны, сравниваем подлогарифмические выражения:

3 и $5^{frac{2}{3}}$

$5^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{5^2} =sqrt[3]{25}$

Число 3 внесем под кубический корень:

$3=sqrt[3]{3^3}=sqrt[3]{27}$

Степени корней одинаковые, поэтому сравниваем числа, стоящие под знаком корня.

27>25

$sqrt[3]{27}> sqrt[3]{25} \\log_53>frac{2}{3}$

Answer 2

А зачем так трудно? Ведь логарифмическая функция возрастающая и на этой основе в одну строчку можно показать

Answer 3

$5^frac{2}{3}=25^frac{1}{3}=sqrt[3]{25}; log_5sqrt[3]{25}=frac{2}{3}; \log_53 ? frac{2}{3}\log_53 ? log_5sqrt[3]{25}\3 ? sqrt[3]{25}\3^3 ? sqrt[3]{25}^3\27 > 25;\log_53 > frac{2}{3}$ примечание т.к. основание логарифма > 1; то знаки неравенства не меняются.