Question

найти производную функции
$y=x^{ctgx}$

Answer 1

$y=x^{mathrm{ctg}x}$

Прологарифмируем выражение:

$ln y=ln x^{mathrm{ctg}x}$

Преобразуем по свойствам логарифма:

$ln y=mathrm{ctg}xln x$

Продифференцируем:

$(ln y)'=(mathrm{ctg}xln x)'$

$dfrac{1}{y} cdot y'=(mathrm{ctg}x)'cdotln x+mathrm{ctg}xcdot(ln x)'$

$dfrac{1}{y} cdot y'=-dfrac{1}{sin^2x}cdotln x+mathrm{ctg}xcdotdfrac{1}{x}$

$dfrac{1}{y} cdot y'=-dfrac{ln x}{sin^2x}+dfrac{mathrm{ctg}x}{x}$

$dfrac{1}{y} cdot y'=dfrac{mathrm{ctg}x}{x} -dfrac{ln x}{sin^2x}$

Выразим производную:

$y'=ycdotleft(dfrac{mathrm{ctg}x}{x} -dfrac{ln x}{sin^2x}right)$

Подставим выражение для функции:

$y'=x^{mathrm{ctg}x}cdotleft(dfrac{mathrm{ctg}x}{x} -dfrac{ln x}{sin^2x}right)$