Question

Помогите, пожалуйста, решить 15 задание из КИМа ЕГЭ

Answer 1

Пусть $3^x=tRightarrow t>0$

$frac{50t-100+frac{50}{t}}{t+frac{1}{t}+2}leqfrac{15t-15}{t+1}+frac{20+30t}{t+1}\frac{50t^2-100t+50}{t^2+2t+1}leqfrac{45t+5}{t+1}\frac{50t^2-100t+50-(45t+5)(t+1)}{(t+1)^2}leq0\frac{50t^2-100t+50-45t^2-50t-5}{(t+1)^2}leq0\frac{5t^2-150t+45}{(t+1)^2}leq0|*frac{(t+1)^2}{5}\t^2-30t+9leq0Rightarrow tin[15-6sqrt{6}; 15+6sqrt{6}]$

Проверим левую границу на положительность:

$sqrt{5,76}<sqrt{6}<sqrt{6,25}Leftrightarrow 2,4<sqrt{6}<2,5 Leftrightarrow -15<-6sqrt{6}<-14,4Leftrightarrow\Leftrightarrow 0<15-6sqrt{6}<0,6Rightarrow 15-6sqrt{6}>0$

$15-6sqrt{6} leq 3^x leq 15+6sqrt{6} Rightarrow log_{3}{(15-6sqrt{6})}leq x leq log_{3}{(15+6sqrt{6})}$

Ответ: $xin[log_{3}{(15-6sqrt{6})}; log_{3}{(15+6sqrt{6})}]$

Answer 2

К слову, стоило пояснить, что мы имеем право домножать на (t+1)^2/5, т. к. при всех возможных t выражение никогда не обратится в ноль и всегда положительно.