Question

Найдите наименьшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которых имеет вид 3^m×5^n(m,n принадлежит N) и число делителей равно 6.

Answer 1

45=1*3*3*5

делители 1,3,9,15,45  5 делителей

135=3^3*5^1=1*3*3*3*5

делители 1,3,9,15,27,45,135  7 делителей

225=1*3*3*5*5

делители 1,3,9,15,75,225  6 делителей

Ответ: 225

Answer 2

Число $3^{m}cdot 5^n$ имеет $(m+1)(n+1)$ число делителей и по условию равно 6.

Т.е. решим уравнение $(m+1)(n+1)=6$ в натуральных числах. Для $m,n in mathbb{N}$ имеем две системы уравнений.

$displaystyle left { {{m+1=3} atop {n+1=2}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{m=2} atop {n=1}} right.\ \ left { {{m+1=2} atop {n+1=3}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{m=1} atop {n=2}} right.$

Имеем $3^2cdot 5=45$ или $3cdot 5^2=75$ откуда наименьшее число это 45.

Ответ: 45.