Question

Найти остаток от деления числа 4^67 на число 7

Answer 1

$4^3=64=63+1=7cdot 9+1equiv 1 (mod 7)$, то есть это число дает остаток 1 при делении на 7 $Rightarrow 4^{66}=(4^3)^{22}equiv 1^{22}=1  (mod 7)Rightarrow 4^{67}=4^{66}cdot 4equiv 1cdot 4=4 (mod 7).$ Поэтому остаток от деления данного числа на 7 равен 4.

Если Вы не знакомы с таким способом, можно рассуждать так:

$4^{67}=4^{66+1}=4^{3cdot 22}cdot 4=64^{22}cdot 4=(63+1)^{22}cdot 4=(7cdot 9+1)^{22}cdot 4 =(7A+1)cdot 4=28A+4$

Происхождение 7A объясняется так: когда Вы возводите скобку в 22-ю степень, получается куча слагаемых, причем во все слагаемые кроме одного входит множителем 7.

Ответ: 4