Question

С виду правой части f (x) и корням характеристического уравнения определить вид общего решения соответствующего неоднородного дифференциального уравнения.
λ1=λ2=2, λ3=5, f(x)=3xe^(-3x).

Answer 1

Дифференциальное уравнение по данным: $y'''-9y''+24y'-20y=3xe^{-3x}$

Общее решение однородного уравнения $y'''-9y''+24y'-20y=0$

$sf y_{o.o.}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=3xe^{-3x}$

$P_n(x)=3x;~~Rightarrow~~~ n=1;~~~~ alpha=-3$

Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:

Уч.н. $=(Ax+B)e^{-3x}$

Найдем теперь производные первого, второго и третьего порядка

$y'=-3e^{-3x}(Ax+B)+Ae^{-3x}\ y''=9e^{-3x}(Ax+B)-3Ae^{-3x}-3Ae^{-3x}\ y'''=-27e^{-3x}(Ax+B)+9Ae^{-3x}+18Ae^{-3x}=-27e^{-3x}(Ax+B)+27Ae^{-3x}$

Подставляем в исходное уравнение, получим:

$-27(Ax+B)+27A-81(Ax+B)+54A-72(Ax+B)+54A-\ -20(Ax+B)=3x\ -27Ax-27B+135A-81Ax-81B-72Ax-72B-20Ax-20B=3x\-200Ax+135A-200B=3x$

Приравнивая коэффициенты при степени x, получим

$displaystyleleft { {{-200A=3} atop {135A-200B=0}} right. ~~~Rightarrow~~~left { {{A=-frac{3}{200}} atop {B=-frac{63}{8000}}} right.$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Уо.н. = Уо.о. + Уч.н. = $C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}-e^{-3x}bigg(dfrac{3x}{200}+dfrac{63}{8000}bigg).$