Question

Данную функцию Z=F(x,y) исслег на экстремум.
Z=2x^3+2y^3-36xy+430

Answer 1

Находим частные производные:

$z=2x^3+2y^3-36xy+430 \ \ z'_x=6x^2-36y \ z'_y=6y^2-36x$

Приравниваем их к нулю и решаем систему:

$left{begin{matrix} 6x^2-36y=0 |:6 \ 6y^2-36x=0 |:6 end{matrix}right. \ \ left{begin{matrix} x^2-6y=0 \ y^2-6x=0 end{matrix}right.\ \ left{begin{matrix} y=frac{x^2}{6} \ y^2-6x=0 end{matrix}right. \ \ \ (frac{x^2}{6})^2-6x=0\ \ frac{x^4}{36} -6x=0 |*36 \ \ x^4-216x=0 \ \ x(x^3-216)=0$

$begin{bmatrix} x_1=0\ x_2^3-216=0 end{matrix} Leftrightarrow begin{bmatrix} x_1=0\ x_2^3=216 end{matrix}  Leftrightarrow begin{bmatrix} x_1=0\ x_2=6end{matrix} \ \ y=frac{x^2}{6}\ \ begin{bmatrix} y_1=frac{0^2}{6} \ \ y_2= frac{6^2}{6} end{matrix} Leftrightarrow begin{bmatrix}y_1=0\ y_2=6 end{matrix}$

Получаем две ВОЗМОЖНЫЕ (критические или стационарные) точки экстремума: M₁(x₁;y₁) и М₂(х₂;у₂)

в данном случае: M₁(0;0) и M₂(6;6)

1) Проверим точку M₁

для этого находим вторые частные производные функции и подставляем координаты нашей точки:

$A=z''_{xx}=12x; z''_{xx}(0;0)=0 \ \ B=z''_{xy}=z''_{yx}=-36; \ \ C=z''_{yy}=12y; z''_{yy}(0;0)=0$

AC-B²=0*0-(-36)²=-36<0 - следовательно экстремума в точке М₁ нет

2) Проверим точку М₂

$A=z''_{xx}=12x; z''_{xx}(6;6)=72 \ \ B=z''_{xy}=z''_{yx}=-36; \ \ C=z''_{yy}=12y; z''_{yy}(6;6)=72$

AC-B²=72*72-(-36)²=3888>0 экстремум есть, причем минимум (так как A>0)

Итак, точка минимума М₂(6;6)

Минимум:

$z(M_2)=2*6^3+2*6^3-36*6*6+430=-2$

Ответ: z=-2 - минимум функции

P.S.

Если AC-B²> 0 и A > 0, то М - точка минимума

Если AC-B²> 0 и A < 0, то М - точка максимума

Если AC-B²< 0, то экстремумов нет