Question

${x}^{4} - 16 {x}^{3} + 88 {x}^{2} - 193x + 144 = 0$

Answer 1

Превращаем многочлен четвёртой степени в произведение двух квадратных трёхчленов, вынося $x$ за скобку, перегруппировывая члены и получая произведение двух квадратных трёхчленов. Пошагово это делается так:

$x^{4}-16x^{3}+88x^{2}-193x+144=x(x^{3}-16x^{2}+88x-193)+144=x(x(x^{2}-16x+88)-193)+144=x(x(x(x-16)+88)-193)+144=x(x(x(x-16)+63)+25x-193)+144=x^{2}(x-9)(x-7)+16x(x-7)+9x(x-9)+144=(x(x-9)+16)(x(x-7)+9)=(x^{2}-9x+16)(x^{2}-7x+9)$

Получим:

$(x^2-9x+16)(x^2-7x+9)=0$

Решим два квадратных уравнения по отдельности. Первое:

$x^2-9x+16=0$

$D=b^2-4ac=81-4*16=81-64=17$

Дискриминант положителен, у первого уравнения два корня:

$x_{1}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{9-sqrt{17}}{2}$

$x_{2}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{9+sqrt{17}}{2}$

Решаем второе квадратное уравнение.

$x^2-7x+9=0$

$D=b^2-4ac=49-4*9=49-36=13$

Дискриминант положителен, у второго уравнения два корня:

$x_{3}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{7-sqrt{13}}{2}$

$x_{4}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{7+sqrt{13}}{2}$

Объединив решения, получим четыре корня:

$x_{1}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{9-sqrt{17}}{2}$

$x_{2}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{9+sqrt{17}}{2}$

$x_{3}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{7-sqrt{13}}{2}$

$x_{4}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{7+sqrt{13}}{2}$

Answer 2

Спасибо! Но как понять, на какие именно два квадратных трехчлена мы разбиваем исходное уравнение?

Answer 3

Это множители, на которые разбивается многочлен способом группировки: условно разбиваем всё выражение на группы, в каждой из которых можно вынести общий множитель за скобку, после чего приводим подобные так, чтобы в каждой из скобок получился квадратный трёхчлен. В этом случае предельное разложение выглядит так: x(x(x(x-16)+88)-193)+144. Из него уже при помощи перегруппировки лепятся две скобки с квадратными трёхчленами.