Question

3 sinx + 2 cosx = 3.

Answer 1

$3sin x+2cos x=3$

Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.

$sqrt{3^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13}$

$dfrac{3}{sqrt{13}}sin x+dfrac{2}{sqrt{13}}cos x=dfrac{3}{sqrt{13}}$

Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:

$sqrt{left(dfrac{3}{sqrt{13}}right)^2+left(dfrac{2}{sqrt{13}}right)^2}=sqrt{dfrac{9+4}{13}}=sqrt{dfrac{13}{13}}=sqrt{1}=1$

Так как это верное равенство, значит, числа $dfrac{3}{sqrt{13}}$ и $dfrac{2}{sqrt{13}}$ лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол $varphi$, что, например, $sinvarphi=dfrac{3}{sqrt{13}}$ и $cosvarphi=dfrac{2}{sqrt{13}}$. Отсюда возьмём $varphi=arcsindfrac{3}{sqrt{13}}$.

$sinvarphisin x+cosvarphicos x=dfrac{3}{sqrt{13}}medskip\cosleft(x-varphiright)=dfrac{3}{sqrt{13}}medskip\x-varphi=pmarccosdfrac{3}{sqrt{13}}+2pi n,,ninmathbb{Z}medskip\x=varphipmarccosdfrac{3}{sqrt{13}}+2pi n,,ninmathbb{Z}medskip\x=arcsindfrac{3}{sqrt{13}}pmarccosdfrac{3}{sqrt{13}}+2pi n,,ninmathbb{Z}$

Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:

$left[begin{gathered}x=arcsindfrac{3}{sqrt{13}}+arccosdfrac{3}{sqrt{13}}+2pi n,,ninmathbb{Z}\x=arcsindfrac{3}{sqrt{13}}-arccosdfrac{3}{sqrt{13}}+2pi n,,ninmathbb{Z}end{gathered}$

$left[begin{gathered}x=dfrac{pi}{2}+2pi n,,ninmathbb{Z}\x=2arcsindfrac{3}{sqrt{13}}-dfrac{pi}{2}+2pi n,,ninmathbb{Z}end{gathered}$

Ответ. $x=dfrac{pi}{2}+2pi n,,ninmathbb{Z},;~x=2arcsindfrac{3}{sqrt{13}}-dfrac{pi}{2}+2pi n,,ninmathbb{Z}$

Answer 2

А если делать через формулу сумму синусов? При этом угол альфа=arccos(3/на корень из 13). Получается sin(x+ arccos(3/корень из 13))=3/ на корень из 13.Это правильно?

Answer 3

Да, наверное. Здесь разницы нет, какой угол брать за синус, а какой за косинус.

Answer 4

Спасибо большое