Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанные начальные условия: y’’+y=1/sinx, y(π/2)=1, y'(π/2)=π/2

Answer 1

$displaystyle y''+y=frac{1}{sinx}\k^2+1=0\k=^+_-i\Y=C_1cosx+C_2sinx=>C_1(x)cosx+C_2(x)sinx\begin{cases}C'_1(x)cosx+C'_2(x)sinx=0\C'_1(x)(-sinx)+C'_2(x)cosx=frac{1}{sinx}end{cases}\W=left[begin{array}{cc}cosx&sinx\-sinx&cosxend{array}right]=1\W_1=left[begin{array}{cc}0&sinx\frac{1}{sinx}&cosxend{array}right]=-1\W_2=left[begin{array}{cc}cosx&0\-sinx&frac{1}{sinx}end{array}right]=ctgx\C'_1(x)=frac{W_1}{W}=-1=>C_1(x)=-x+C_1\C'_2(x)=frac{W_2}{W}=ln|sinx|+C_2$

$y=(-x+C_1)cosx+(ln|sinx|+C_2)sinx\1=(-frac{pi}{2}+C_1)*0+(0+C_2)\C_2=1\\\y'=-(-x+C_1)sinx+(ln|sinx|+C_2)cosx\frac{pi}{2}=-(-frac{pi}{2}+C_1)+1*0\C_1=0\\y=-xcosx+(ln|sinx|+1)sinx$