Question

Найти производную (максимально полное решение) :
$y' = (sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x}}})'$

Answer 1

$y' = (sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x}}})'=((x+(x+x^{0.5})^{0.5})^{0.5})'=\frac{1}{2(x+(x+x^{0.5})^{0.5})^{0.5}}*(x+(x+x^{0.5})^{0.5})'=\frac{1+((x+x^{0.5})^{0.5})'}{2(sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x}}})}=$

=>

$frac{1+frac{(x+x^{0.5})'}{2(sqrt{x+sqrt{x}})}}{2(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}=\frac{1+frac{1+(x^{0.5})'}{2(sqrt{x+sqrt{x}})}}{2(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}=$

=>

$frac{1+frac{1+frac{1}{2sqrt{x}}}{2(sqrt{x+sqrt{x}})}}{2(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}=$

Дальше уже обыкновенные дроби, производных нет, привести к общему знаменателю, сократить и т.д.

$frac{frac{frac{4sqrt{x}(sqrt{x+sqrt{x}})+2sqrt{x}+1}{2sqrt{x}}}{2(sqrt{x+sqrt{x}})}}{2(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}$

=>

$frac{4sqrt{x}(sqrt{x+sqrt{x}})+2sqrt{x}+1}{2sqrt{x}}*frac{2(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}{2(sqrt{x+sqrt{x}})}$

=>

$frac{(2sqrt{x}(sqrt{x+sqrt{x}})+2sqrt{x}+1)(sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}})}{sqrt{x}(sqrt{x+sqrt{x}})}$

Answer 2

$y=sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}; ; ,; ; (sqrt{u})'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u'\\y'=frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}}cdot (x+sqrt{x+sqrt{x}})'=\\=frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}}cdot Big (1+frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x}}}cdot (x+sqrt{x})'Big )=\\=frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}}cdot Big (1+frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x}}}cdot (1+frac{1}{2sqrt{x}})Big )=\\= frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}}cdot Big (1+frac{2sqrt{x}+1}{4sqrt{x}cdot sqrt{x+sqrt{x}}}Big )=$

$=frac{1}{2sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}}cdot frac{4sqrt{x}cdot sqrt{x+sqrt{x}}; +, 2sqrt{x}; +1}{4sqrt{x}cdot sqrt{x+sqrt{x}}}=frac{4sqrt{x}cdot sqrt{x+sqrt{x}}; +, 2sqrt{x}; +1}{8sqrt{x+sqrt{x+sqrt{x}}}; cdot , sqrt{x+sqrt{x}}; cdot , sqrt{x}}; .$