Question

50баллов! В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

Answer 1

Уравнение высоты: $y=-frac{1}{4}x+frac{1}{2}$, значит, уравнение противолежащей стороны будет выглядеть так: $y=4x+b$. Зная, что сторона проходит через точку (4; 6), найдём b: $6=4*4+bLeftrightarrow b=-10$. То есть $y=4x-10Leftrightarrow 4x-y-10=0$ - уравнение одной из сторон.

Медиана пересекает сторону в точке (3; 2). Вычислим координаты второй вершины: $frac{x+4}{2}=3; frac{y+6}{2}=2 Leftrightarrow x=2; y=-2$.

Найдём третью вершину - точку пересечения медианы и высоты. Они пересекаются в точке (-2; 1).

Найдём уравнения остальных сторон по уравнению прямой $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$:

1) Сторона, соединяющая точки (4; 6) и (-2; 1): $5x-6y+16=0$

2) Сторона, соединяющая точки (2; -2) и (-2; 1): $3x+4y+2=0$

Найдём точку пересечения высоты и противолежащей стороны (выразим их через y и приравняем):

$4x-10=frac{1}{2}-frac{x}{4} \16x-40=2-x\17x=42\x=frac{42}{17}Rightarrow y=4x-10=4* frac{42}{17}-10=-frac{2}{17}$

Длина высоты $h=sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}=sqrt{(frac{42}{17}+2)^2+(1+frac{2}{17})^2}=sqrt{frac{76^2}{17^2}+frac{19^2}{17^2}}=\=sqrt{frac{6137}{17^2}}=sqrt{frac{19^2*17}{17^2}}=frac{19sqrt{17}}{17}$

Ответ: вершины: (4; 6), (2; -2), (-2; 1); уравнения сторон: $4x-y-10=0$, $5x-6y+16=0$, $3x+4y+2=0$; длина высоты: $frac{19sqrt{17}}{17}$

Answer 2

Можете уточнить, почему уравнение противолежащей стороны выглядит именно так? И как вы нашли точку пересечения медианы? За решение спасибо, но я ничего не понял, к сожалению)

Answer 3

Тут работают только формулы. Если коэффициент прямой равен k, то коэффициент прямой, перпендикулярной ей, равен -1/k. Про медиану: медиана проходит через середину отрезка. Формулы координат середины отрезка: (x1+x2)/2, (y1+y2)/2. Зная один из концов отрезка и его середину, можем найти другой конец.

Answer 4

А точка пересечения медианы - уравнением, как это было с высотой. Но мне было лень, и я просто по графику нашёл.