Question

Найдите такое значение а>1, при котором уравнение $a^{x}=log_{a} x$ имеет ровно один корень. Ответ укажите с точностью до десятитысячных. Помогите,пожалуйста, кто в логарифмах шарит.

Answer 1

Найдите такое значение  a > 1,  при котором уравнение  ax = logax  имеет единственное решение.

a = e1/e

1,4447

Answer 2

$a^x=log_ax$

Поскольку нужно найти a > 1, то функции стоящие справа и слева являются возрастающим, т.е. выпуклые ⇒ единственный корень будет в том случае, когда $y=a^x$ касается прямой f(x) = x.

Пусть $x_0$ абсцисса точки касания. Тогда $y'=(a^x)'=a^xln a$ ее значение производной в точке x0: $a^{x_0}ln a.$

Используя геометрический смысл производной $y'(x_0)=k$, получим

$a^{x_0}ln a=1~~~Rightarrow~~ a^{x_0}=dfrac{1}{ln a}$

Тогда $a^{x_0}=log_ax_0~~~Rightarrow~~~dfrac{1}{ln a}=dfrac{ln x_0}{ln a}~~~Rightarrow~~~ x_0=e$

Тогда приравнивая y = x₀ и y = $log_ax_0$, получим

$e=dfrac{ln e}{ln a}$ откуда $dfrac{1}{e}=ln a~~~Rightarrow~~~ a=e^{frac{1}{e}}approx1.4447$

Ответ: 1.4447