Question

Найти первообразную $int{sin(x)e^x}$

Answer 1

$int{ sin(x)e^x}dx = \ = int{ sin(x)}d( {e}^{x} ) = \ = {e}^{x} sin(x) - int{ {e}^{x} d(cos(x) )} = \ = {e}^{x} sin(x) - ( {e}^{x} cos(x) - int( - sin(x) ) {e}^{x} dx) = \ = {e}^{x} ( sin(x) - cos(x) ) - int{ sin(x)e^x}dx$
то есть, мы получили:
$int{ sin(x)e^x}dx = \ = {e}^{x} ( sin(x) - cos(x) ) - int{ sin(x)e^x}dx$
откуда

$2int{ sin(x)e^x}dx = {e}^{x} ( sin(x) - cos(x) ) \ \ int{ sin(x)e^x}dx = \ = frac{1}{2} {e}^{x} ( sin(x) - cos(x) ) + c$