Question

Допишите до формулы пожалуйста или решите
sinx+cosx=√2sin7x

Answer 1

$sin(x) + cos(x) = \ = sqrt{2} ( frac{ sqrt{2} }{2} sin(x) + frac{ sqrt{2} }{2} cos(x) ) = \ = sqrt{2} ( cos( frac{pi}{4} ) sin(x) + sin( frac{pi}{4} ) cos(x) ) = \ = sqrt{2} sin(x + frac{pi}{4} )$
поэтому наше уравнение равносильно следующему:
$sqrt{2} sin(x + frac{pi}{4} ) = sqrt{2} sin(7x)$
$sqrt{2} ( sin(x + frac{pi}{4} ) - sin(7x) ) = 0 \ ( sin(x + frac{pi}{4} ) - sin(7x) ) = 0 \ 2 sin( frac{x + frac{pi}{4} - 7x}{2} ) cos( frac{x + frac{pi}{4} + 7x}{2}) = 0 \ sin( frac{pi}{8} - 3x ) cos( frac{pi}{8} + 4x) = 0 \ - sin(3x - frac{pi}{8} ) cos(4x + frac{pi}{8} ) = 0 \ \ sin(3x - frac{pi}{8} ) = 0 \ 3x - frac{pi}{8} = pi k \ x = frac{pi}{24} + frac{pi k}{3} (k∈Z)\ \ cos(4x + frac{pi}{8} ) = 0 \ 4x + frac{pi}{8} = frac{pi}{2} + pi : n \ 4x = frac{3pi}{8} + pi n \ x = frac{3pi}{32} + frac{pi n}{4} (n∈Z)$
Ответ

$x = frac{pi}{24} + frac{pi k}{3} (k∈Z) \ \ x = frac{3pi}{32} + frac{pi n}{4} (n∈Z)$