Question

Кто знает как доказать? Буду очень благодарна

Answer 1

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции. При n=2 неравенство принимает вид $1+frac{1}{sqrt{2}}>sqrt{2}Leftrightarrow 1>sqrt{2}-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow 1>frac{2-1}{sqrt{2}}; 1>frac{1}{sqrt{2}}$ - верно. Пусть неравенство справедливо при n=k, то есть $1+frac{1}{sqrt{2}}+ldots +frac{1}{sqrt{k}}>sqrt{k};$ докажем, что тогда оно справедливо и при n=k+1, то есть что $1+frac{1}{sqrt{2}}+ldots + frac{1}{sqrt{k}}+frac{1}{sqrt{k+1}}>sqrt{k+1}.$

По предположению индукции $(1+frac{1}{sqrt{2}}+ldots +frac{1}{sqrt{k}})+frac{1}{sqrt{k+1}}>sqrt{k}+frac{1}{sqrt{k+1}}$.

Если мы докажем, что $sqrt{k}+frac{1}{sqrt{k+1}}>sqrt{k+1},$ наша цель будет достигнута. Таким образом, достаточно доказать, что $sqrt{k}>sqrt{k+1}-frac{1}{sqrt{k+1}}Leftrightarrow sqrt{k}>frac{k}{sqrt{k+1}}Leftrightarrow sqrt{k+1}>sqrt{k},$ что очевидно. На этом доказательство методом математической индукции завершено.

Answer 2

Большое спасибо!

Answer 3

;)

Answer 4

докажем с помощью матиндукции

1) при n=2
$frac{1}{ sqrt{1} } + frac{1}{ sqrt{2} } = frac{ sqrt{2} + 1}{ sqrt{2} } > sqrt{2}$
действительно,
домножим обе части на
$sqrt{2}$
$sqrt{2} + 1 > 2 \ sqrt{2} > 1$
это верно

2)пусть теперь
при n=k

$1 + frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } + ... frac{1}{ sqrt{k} } > sqrt{k}$

3) докажем тогда, что при n=k+1

$1 + frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } + ... + frac{1}{ sqrt{k} } + frac{1}{ sqrt{k + 1} } > sqrt{k + 1}$

действительно
$(1 + frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } + ... + frac{1}{ sqrt{k} } )+ frac{1}{ sqrt{k + 1} } > \ > ( sqrt{k}) + frac{1}{ sqrt{k + 1} }$
нам нужно по сути доказать
неравенство
$( sqrt{k}) + frac{1}{ sqrt{k + 1} } > sqrt{k + 1}$

а оно справедливо, так как, домножив его на
$sqrt{k + 1} > 0$

получим
$sqrt{k(k + 1)} + 1 > k + 1 \ sqrt{k(k + 1)} > k \ sqrt{k(k + 1)} > sqrt{ {k}^{2} } \ sqrt{k + 1} > sqrt{k}$
это неравенство справедливо
для любых натуральных k≥2

поэтому мы доказали наше неравенство
при n=k+1
в предположении, что при n=k оно верно и проверили его при n=2

поэтому неравенство справедливо
для любых натуральных n≥2

Answer 5

Большое спасибо!

Answer 6

;)