Question

Если из резервуара выливают воду, уровень воды H в нём меняется в зависимости от времени t следующим образом: H(t)=at2+bt+c. Пусть t0 — момент окончания слива. Известно, что в этот момент выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. В течение какого времени вода из резервуара будет полностью вылита, если за первый час слилась половина уровня? Округлите ответ до ближайшего целого.

Answer 1

обозначим начальный момент времени, когда резервуар полон t₁ (t₁<t₀)

когда резервуар полон: at₁²+bt₁+c=H

через 1 минуту после начала слива: a(t₁+1)²+b(t₁+1)+c=H/2

когда резервуар пуст: at₀²+bt₀+c=0

Найдем производную h'=2at+b

условие h'(t₀)=0: 2at₀+b=0

из последнего условия выразим b: b=-2at₀

подставим b в уравнение at₀²+bt₀+c=0:   at₀²+(-2at₀)t₀+c=0

at₀²-2at₀²+c=0

c=at₀²

подставим b м с в уравнение at₁²+bt₁+c=H:

at₁²+(-2at₀)t₁+at₀²=H

t₁²-2t₀t₁+t₀²=H/a

(t₀-t₁)²=H/a

аналогично для a(t₁+1)²+b(t₁+1)+c=H/2 :

(t₀-t₁-1)²=H/2a

Видно, что

(t₀-t₁)²=2(t₀-t₁-1)²

t₀-t₁=√2(t₀-t₁-1)

t₀-t₁=√2(t₀-t₁)-√2

√2(t₀-t₁)-(t₀-t₁)=√2

(t₀-t₁)(√2-1)=√2

(t₀-t₁)=√2/(√2-1)=3,4142≈3 минуты