Question

доказать, что ((n+1)(n+2)...(2n-1)*2n)/(1*3*5...(2n-1))=2^n

Answer 1

$frac{(n+1)(n+2)cdot...cdot(2n-1)cdot2n}{1 cdot 3 cdot 5cdot...cdot(2n-1)} =2^n\n in mathbb{N}$

Применим индукцию. Запишем равенство для n=k, предполагаю его доказанным, и покажем, что тогда оно верно и для n=k+1, учитывая то, что при n=1 получаем верное равенство.

$frac{(k+2)(k+3)cdot...cdot(2k+1)cdot2(k+1)}{1 cdot 3 cdot 5cdot...cdot(2k+1)} =2^{k+1}\frac{(k+2)(k+3)cdot...cdot(2k-1)cdot2kcdot(2k+1)cdot2(k+1)}{1 cdot 3 cdot 5cdot...cdot(2k-1)cdot(2k+1)}=2^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)(k+3)cdot...cdot(2k-1)cdot2k}{1 cdot 3 cdot 5cdot...cdot(2k-1)}cdotfrac{(2k+1)cdot 2(k+1)}{2k+1} =2^{k+1}(k+1)\2^kcdot2(k+1)=2^{k+1}(k+1)\2^{k+1}=2^{k+1}$

Доказано.

Таким образом равенство верно, для всех натуральных n.