Question

Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y)
(найти все стационарные точки)
Напишите подробное решение

Answer 1

$begin{cases}z'_x=y(12-2x-y)=0\z'_y=x(12-x-2y)=0end{cases}\1)y=0 ;y=12-2x\x=0 x=12 ;x=0(y=12) x=4(y=4)\2)x=0 x=12-2y\y=0 y=12 ;y=0(x=12) y=4(x=4)\D(0;0);E(0;12);F(12;0);G(4;4)\A=z''_{xx}=-2y\B=z''_{xy}=12-2x-2y\C=z''_{yy}=-2x$

$D(0;0)\A=0;B=12;C=0;mathcal4=-144;mathcal4<0$

В точке D экстремума нет.

$E(0;12)\A=-24;B=-12;C=0;mathcal4=-144;mathcal4<0$

В точке E экстремума нет.

$F(12;0)\A=0;B=-12;C=-24;mathcal4=-144;mathcal4<0$

В точке F экстремума нет.

$G(4;4)\A=-8;B=-4;C=-8;mathcal4=64-16=48;mathcal4>0;A<0\z_{max}=16(12-8)=64$

В точке G глобальный максимум.