Question

Интересное уравнение
$x^{2}+(-x)^{frac{1}{3}}-2=0$

Answer 1

$x^2+(-x)^{frac{1}{3}}-2=0$

Отметим ОДЗ: степень с положительным дробным показателем определена при неотрицательном основании, то есть:

$-xgeq 0\xleq0$

Теперь, определив ОДЗ, можно переписать уравнение, воспользовавшись записью в виде корня:

$x^2+sqrt[3]{-x} -2=0$

Корень нечетной степени - нечетная функция, значит:

$x^2-sqrt[3]{x} -2=0$

Также перенесем слагаемые в правую часть:

$x^2=sqrt[3]{x} +2$

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части уравнения.

Функция $y=x^2$ на рассматриваемой ОДЗ $xleq 0$ убывает. Функция $y=sqrt[3]{x} +2$ непрерывно возрастает. Значит, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения, а последнее уравнение - не более одного корня. Если некоторый корень найден, то других корней нет.

Достаточно легко определяется корень $x=-1$.

Проверка:

$(-1)^2=sqrt[3]{-1} +2\1=-1+2\1=1$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1