Question

Определите, при любом y квадратный трехчлен
$- frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5$
принимает наибольшее значение, и найдите его значение.
С объяснением, пожалуйста.

Answer 1

$f(y) = -frac12y^2-3y-5$

Так как это парабола и a < 0 ⇒ он направлен вниз ⇒ чтобы найти наибольшее значение нужно просто найти y₀ вершины.

$f(y) = -frac12y^2-3y-5\x_0 = -frac b{2a} = -3\y_0 = -frac12*9+9-5 = -frac12$

⇒ max(f(y)) = $-frac12$

Answer 2

$- frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5 = \ = - frac{1}{2} ( {y}^{2} + 6y + 10) = \ = - frac{1}{2} ( {y}^{2} + 6y + 9) - frac{1}{2} = \ = - frac{1}{2} (y + 3) ^{2} - frac{1}{2} leqslant - frac{1}{2}$
так как
$- frac{1}{2} (y + 3) ^{2} leqslant 0$
поэтому наибольшее значение
$f(y) = - frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5$
равно
$- frac{1}{2}$
и достигается, когда квадрат обращается в ноль, то есть при
$y= - 3$