Question

Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD.
Докажите, что МА^2+ МВ^2+ МС^2+ МD^2= 8R^2

Answer 1

  АВСD – прямоугольник, его диагонали – диаметры описанной окружности. ⇒ угол М в треугольниках ВМD и АМС - прямой.   В ∆ АМС по т.Пифагора MA²+MC²=BD²;  в ∆ BMD по т.Пифагора МВ²+МD²=BD²

  Сложив два уравнения, получим. МА²+МВ²+МС²+МD²=2BD²  Диаметр DВ=2R, следовательно, 2BD²=2(2R)²=8R² ⇒ МА²+МВ²+МС²+МD²=8BD² Доказано.