Question

Найти точке разрыва и определить их характер
$y=frac{x}{sinx}$
$y=arctg(1/x)$

Answer 1

$sin x=0\ x=pi n,n in mathbb{Z}$

В зависимости от x = πn достаточно рассмотреть точку разрыва при n=0; x=0.

Находим пределы слева и справа в точке x=0

$displaystyle lim_{x to 0^-} frac{x}{sin x}=1\ \ lim_{x to 0^+}frac{x}{sin x}=1$

Функция является непрерывной в точке х=0 и x=0 - точка разрыва второго рода

$y={rm arctg}(1/x)$

Пусть есть произвольное и положительное $varepsilon$. Тогда

$exists ~~x_0>0~~|~~tg(frac{pi}{2}-varepsilon)<frac{1}{x_0}$

${rm tg}frac{1}{x_0}>frac{pi}{2}-varepsilon$

И поскольку, в силу возрастания arctg для 0 < x < x₀ имеем ${rm arctg}frac{1}{x}>frac{pi}{2}-varepsilon$

Тогда $displaystyle lim_{x to 0^+} y(x)=frac{pi}{2}$

Аналогично, $displaystyle lim_{x to 0^-} y(x)=-frac{pi}{2}$

Так как пределы не равны, то х=0 - точка разрыва первого рода.