Question

Площадь прямоугольника равна 49√3 см², а угол между его диагоналями - 60°. Найти стороны

Answer 1

Формула площади параллелограмма: $S = dfrac{1}{2}d_1d_2sinalpha$, так как прямоугольник - частный случай параллелограмма и его диагонали равны, то формула перепишется так: $S = dfrac{1}{2}d^2sinalpha.$

Из площади найдём диагональ прямоугольника: $d = sqrt{dfrac{2S}{sinalpha}} = sqrt{dfrac{2*49sqrt3}{frac{sqrt3}{2}}} = sqrt{4*49} = 2*7 = 14.$ (см).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и одной из сторон треугольника (выделен зелёным на рисунке). Так как мы имеем дело с прямоугольником, половинки диагоналей равны, значит треугольник равнобедренный. Так как угол между диагоналями равен 60°, то данный треугольник - равносторонний, ведь все углы равностороннего треугольника по 60°.

Значит ширина прямоугольника равна половине диагонали, то есть: $dfrac{d}{2} = dfrac{14}{2} = 7$ (см).

Длину найдём по теореме Пифагора из треугольника образованного диагональю и двумя смежными сторонами прямоугольника: $sqrt{14^2 - 7^2} = sqrt{196 - 49} = sqrt{147} = 7sqrt{3}$ (см).

Так же длину можно было найти из площади: $dfrac{49sqrt3}{7} = 7sqrt3$ (см).

Ответ: длина 7√3 см, ширина 7 см.