Question

докажите что если abcd = 1 то (a +1)(b + 1)(c +1)(d + 1) >= 16

Answer 1

Это неверно. Пусть а=b=c=d=-1

Тогда предложенное произведение равно 0  и никак не больше 16.

А вот , если все положительные, то другое дело.

Раскрыв скобки, мы обнаружим члены:

abcd+1 =2

ad+ac+ab+cd+cb+db. больше либо равно 6

abc+abd+adc+bdc+d+c+a больше либо равно 8.

Просуммировав  получим требуемое неравенство.

Утверждения про больше либо равно 6 и 8 доказываются на основе известного неравенства при х больше 0  (х+1/х) больше либо равно 2  (доказывается элементарно : обе части умножаются на х и получается (х-1) в квадрате больше либо равна 0)

Чтобы свести задачу к этому неравенству, группируем суммы:

(abc+d)+(abd+c)+(adc+b)+(bdc+a)   больше либо равно 8

и  (ad+св)+(ac+db)+(ab+cd)  больше либо равно 6.

Равенство  достигается, очевидно, когда все переменные равны 1.

Answer 2

а потом можно сократить до такой фигни (c+d+1)(a+b+1)+ cd(a+b+1)

Answer 3

Ну я написал, как мне понятнее.

Answer 4

и что получилось

Answer 5

Ну может тормозит браузер, это бывает, но должно появиться решение.

Answer 6

ооо спасибо