Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(2)-2x+2, y=x, y=2x-1. Сделать чертёж.

Answer 1

Найдём точки пересечения прямых у=х, у=2х-1 и параболы y=x²-2x+2 .

$x^2-2x+2=x; ; to ; ; x^2-x+2=0; ,; x_1=1; ,; x_2=2\\x^2-2x+2=2x-1; ; to ; ; x^2-4x+3=0; ,; x_1=1; ,; x_2=3\\2x-1=x; ; to ; ; x=1$

Область между заданными линиями (на чертеже закрашена жёлтым цветом) разобьём на две и вычислим её площадь.

$S=intlimits^2_1, (2x-1-x), dx+intlimits^3_2, (2x-1-(x^2-2x+2)), dx=\\=intlimits^2_1, (x-1), dx+intlimits^3_2(4x-3-x^2), dx=frac{(x-1)^2}{2}Big |_1^2+(2x^2-3x-frac{x^3}{3})Big |_2^3=\\=frac{1}{2}+(18-9-9)-(8-6-frac{8}{3})=frac{1}{2}-2+frac{8}{3}=frac{3-12+16}{6}=frac{7}{6}$