Question

1)Докажите неравенство.(номер 124 (а))

2)Докажите,что при любом значении а верно неравенство:(номер 125 (а))

Answer 1

#124: Доказать неравенство.

$dfrac{2a}{1+a^2} leq 1;\dfrac{2a}{1+a^2} - 1 leq 0;\\dfrac{2a}{1+a^2} - dfrac{1+a^2}{1+a^2} leq 0;\dfrac{2a - (1 + a^2)}{1+ a^2} leq 0;\\dfrac{2a - 1 - a^2}{1 + a^2} leq 0;\-dfrac{a^2 - 2a + 1}{1 + a^2} leq 0;\dfrac{a^2 - 2a + 1}{1 + a^2} geq 0.$

Знаменатель дроби всегда будет больше либо равен 0, так как любое число в квадрате неотрицательно, а если к неотрицательному числу прибавить 1, то получится положительное число.

Осталось доказать, что неотрицательным будет числитель.

$a^2 - 2a + 1 geq 0;\(a - 1)^2 geq 0.$

Увидели формулу квадрата разности, свернули её. Получили верное для любого а неравенство, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Доказано. ∎

#125: Доказать выполнение неравенства для любого значения a.

$dfrac{(1 + a)^2}{2} leq 2a;\(1 + a)^2 leq 4a;\a^2 + 2a + 1 leq 4a;\a^2 + 2a + 1 - 4a leq 0;\a^2 - 2a + 1 leq 0;\(a - 1)^2 leq 0.$

Квадрат числа не может быть меньше нуля, значит полученное неравенство можно переписать в равенство.

$(a - 1)^2 = 0;\a - 1 = 0;\a = 1.$

Таким образом, данное неравенство верно только для a = 1, а не для всех а.

Вывод: неравенство не выполняется для всех а.

Answer 2

Спасибо!