Ответы
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции {displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд Тейлора:
{displaystyle (1+x)^{r}=sum _{k=0}^{infty }{r choose k}x^{k}} (1+x)^r=sum_{k=0}^{infty} {r choose k} x^k,
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
{displaystyle {r choose k}={1 over k!}prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={frac {r(r-1)(r-2)cdots (r-(k-1))}{k!}}} {displaystyle {r choose k}={1 over k!}prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={frac {r(r-1)(r-2)cdots (r-(k-1))}{k!}}}
При этом ряд
{displaystyle (1+z)^{alpha }=1+alpha {}z+{frac {alpha (alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} (1+z)^alpha=1+alpha{}z+frac{alpha(alpha-1)}{2}z^2+...+frac{alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)}{n!}z^n+....
сходится при {displaystyle |z|leq 1} |z|le 1.
В частности, при {displaystyle z={frac {1}{m}}} z=frac{1}{m} и {displaystyle alpha =xcdot m} alpha=xcdot m получается тождество
{displaystyle left(1+{frac {1}{m}}right)^{xm}=1+x+{frac {xm(xm-1)}{2;m^{2}}}+...+{frac {xm(xm-1)cdots (xm-n+1)}{n!;m^{n}}}+dots .} left(1+frac{1}{m}right)^{xm}=1+x+frac{xm(xm-1)}{2; m^2}+...+frac{xm(xm-1)cdots(xm-n+1)}{n!; m^n}+dots.
Переходя к пределу при {displaystyle mto infty } mtoinfty и используя второй замечательный предел {displaystyle lim _{mto infty }{left(1+{frac {1}{m}}right)^{m}}=e} lim_{mtoinfty}{left(1+frac{1}{m}right)^{m}}=e, выводим тождество
{displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2}}+dots +{frac {x^{n}}{n!}}+dots ,} e^x=1+x+frac{x^2}{2}+dots+frac{x^n}{n!}+dots,
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.