Question

найдите произведение корней уравнения 17/(x-3)(x+4) - 1/x-3=x/x+4

Answer 1

Найти произведение корней.

$dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - dfrac{1}{x-3} = dfrac{x}{x+4};\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - dfrac{1}{x-3} - dfrac{x}{x+4} = 0;\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - left(dfrac{1}{x-3} + dfrac{x}{x+4}right) = 0;\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - dfrac{(x+4) + x(x-3)}{(x-3)(x+4)} = 0;\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - dfrac{x + 4 + x^2 - 3x}{(x-3)(x+4)} = 0;\\dfrac{17-(x^2 - 2x + 4)}{(x-3)(x+4)} = 0;\\dfrac{17 - x^2 + 2x - 4}{(x-3)(x-4)} = 0;\\dfrac{-(x^2 - 2x - 13)}{(x-3)(x-4)} = 0.$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Знаменатель можем отбросить, предварительно записав ОДЗ, ведь знаменатель не может быть равен нулю: $(x-3)(x-4) neq 0 Longleftrightarrow x neq 3; x neq 4.$

Теперь найдём значения x, при которых числитель обращается в ноль.

$-(x^2 - 2x - 13) = 0;\x^2 - 2x - 13 = 0;\D = [b^2 - 4ac] = (-2)^2 - 4*a*(-13) = 4 + 52 = 56 = (2sqrt{14})^2;\x_{1_2} = left[dfrac{-bpm sqrt{D}}{2a}right] = dfrac{2pm 2sqrt{14}}{2} = 1pm sqrt{14} = left[begin{array}{ccc}1 + sqrt{14},\1 - sqrt{14}.end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Теперь найдём произведение корней (не забываем про разность квадратов!!).

$(1 + sqrt{14})(1 - sqrt{14}) = 1^2 - (sqrt{14})^2 = 1 - 14 = bfunderline{-13}.$

Ответ: -13.