Question

ОбъяездИли (почему мы пишем И?)
ПрЕодолели (почему мы пишем Е?)
В МузеЕ (почему мы пишем Е?)
ШахмАты (почему мы пишем А?)

Answer 1

Объездили - второе спряжение.
Преодолели - Приставку пре- можно заменить пере-. Имеется в виде "сделано с трудом".
В музее - 2 склонение предложного падежа.
Шахматы - слово образовано от "шах" и "мат".