Question

интеграл dx/(x^2+2x-3)

Answer 1

$intlimits {dfrac{dx}{x^2+2x-3}}$

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла:

$dfrac{1}{x^2+2x-3}=dfrac{1}{x^2+2x+1-4}=dfrac{1}{(x+1)^2-2^2}=\\=dfrac{1}{(x+1-2)(x+1+2)}=dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$

Представим дробь в виде суммы простейших:

$dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=dfrac{A}{x-1}+dfrac{B}{x+3}$

Определим коэффициенты А и В. Для этого сложим дроби в правой части:

$dfrac{A}{x-1} +dfrac{B}{x+3}=dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} =dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$

Дроби $dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$ и $dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$ должны быть равны, следовательно:

$(A+B)x+3A-B=1$

Получаем систему:

$left{begin{array}{l} A+B=0 \ 3A-B=1 end{array}$

Складываем уравнения:

$4A=1Rightarrow A=dfrac{1}{4}$

$B=-A Rightarrow B=-dfrac{1}{4}$

Тогда представление в виде суммы имеет вид:

$dfrac{1}{x^2+2x-3}=dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=dfrac{1}{4(x-1)}-dfrac{1}{4(x+3)}$

Возвращаемся к интегралу:

$intlimits {dfrac{dx}{x^2+2x-3}}=intlimitsleft(dfrac{1}{4(x-1)}-dfrac{1}{4(x+3)}right)dx=\\=dfrac{1}{4}intlimitsdfrac{dx}{x-1}-dfrac{1}{4}intlimitsdfrac{dx}{x+3}=boxed{dfrac{1}{4}ln|x-1|-dfrac{1}{4}ln|x+3|+C}$

Answer 2

интеграл это какой клас?