Question

Cоставить уравнение гиперболы , фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат , если дана точка M(-5;3) гиперболы и эксцентриситет Е= sqrt 2
Чему равна длина мнимой полуоси гиперболы?
Очень прошу срочно!!!!!!!!!!

Answer 1

Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то это стандартная гипербола, которая имеет уравнение:

$dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}=1$, где а - действительная полуось, b - мнимая полуось

Поскольку дана точка гиперболы, то подставим ее координаты в уравнение:

$dfrac{(-5)^2}{a^2}-dfrac{3^2}{b^2}=1$

Также распишем эксцентриситет гиперболы:

$varepsilon=dfrac{sqrt{a^2+b^2}}{a} =sqrt{2}$

Преобразуем. Возведем в квадрат:

$dfrac{a^2+b^2}{a^2} =2\a^2+b^2=2a^2\b^2=a^2$

Подставим в уравнение с координатами выявленное соотношение:

$dfrac{25}{a^2}-dfrac{9}{a^2}=1\\dfrac{16}{a^2}=1\Rightarrow a^2=16\Rightarrow b^2=16$

Все необходимые данные для записи уравнения есть:

$dfrac{x^2}{16}-dfrac{y^2}{16}=1$

Поскольку квадрат мнимой полуоси $b^2=16$, то ее длина - соответственно $|b|=4$