Question

Задание по теории вероятностей

Есть две урны. В них находятся белые и цветные шары. В первой - 3 белых и 4 цветных, во второй наоборот - 4 белых и 3 цветных.
Из первой урны достали два шара и переложили во вторую.
Затем из второй вытащили один белый. Какова вероятность,что этот белый шар первоначально находился в первой урне?

Answer 1

"Из первой урны достали два шара и переложили во вторую."

шанс что достали белый 3/7, цветной 4/7

так достали два сразу удваиваем мат.ожидание белые 6/7 и цветные 8/7.

"положили во вторую урну (4 белых и 3 цветных)", там теперь 4+3+2=9 шаров.

Затем из второй вытащили один белый. Какова вероятность,что этот белый шар первоначально находился в первой урне?

(6/7):9=2/21;

Answer 2

Сначала разберёмся с первым этапом.

• Вероятность того, что переложены 2 цветных шара: 4/7 * 3/6 = 2/7 (первый шар цветной с вероятностью 4/7, после этого остаются 3 цветных шара и 6 шаров всего).
• Вероятность того, что переложены 2 белых шара: 3/7 * 2/6 = 1/7
• Вероятность того, что переложен 1 белый шар и 1 цветной: 1 - 2/7 - 1/7 = 4/7

Пусть A₁ = "вытащен белый шар, который первоначально был в первой урне", A₂ - соответственно, во второй, B = "вытащен белый шар". Формула Байеса:

$P(A_1|B)=dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}=dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}$

Вычисляем вероятности.

• $P(B|A_1)=P(B|A_2)=1$: если известно, что вытащен белый шар из первой (второй) корзины, то вероятность, что вытащен белый шар, равна 1.
• $P(A_1)=0cdotdfrac27+dfrac29cdotdfrac17+dfrac19cdotdfrac47=dfrac2{21}$: если переложили 0 белых шаров (вероятность 2/7), то невозможно вытащить переложенный белый шар; если переложили 2 белых шара, то вероятность вытащить переложенный белый шар равна 2/9, так как всего во второй урне 9 шаров, и т.д.
• $P(A_2)=dfrac49$: во второй урне всегда 4 непереложенных белых шара и 5 оставшихся шаров.

Подставляем в формулу:

$P(A_1|B)=dfrac{2/21}{2/21+4/9}=dfrac3{17}$