Даны точки: A(1;2;3), B(5;-1;2), C(0;1;1), D(-4;3;5). Доказать, что данные точки вершины пирамиды.
Ответы
Доказательством, что данные точки - это вершины пирамиды, служит несоответствие координат четвёртой точки уравнению плоскости, которой принадлежат другие три точки.
Составим уравнение плоскости, которой принадлежат точки А, В и С.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из уравнения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив заданные координаты точек, получаем:
5x + 9y - 7z - 2 = 0 .
Подставим координаты точки Д:
5*(-4) + 9*3 - 7*5 - 2 = -20 + 27 - 35 - 2 = -30.
То есть не равно нулю. Значит, точка Д не принадлежит плоскости точек А, В и С - это вершина пирамиды.