Ответы
раскроем скобки в левой части
(левая часть)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b
получили 6 слагаемых(каждое из них ≥0, как прозведение положительных чисел), значит по неравенству Коши среднее арифметическое этих слагаемыхбольше или равно их среднегеометрическому
то есть:
умножив неравенство
на 6 и преобразовав (левую часть назад получим неравенство, которое необходимо было доказать, а именно:
что и требовалось доказать
P.S.
альтернативное доказательство(для тех кто не помнит неравенство Коши):
(левая часть)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b=
=b²a+c²a+a²b+c²b+a²c+b²c=
=a*(b²+c²)+b*(a²+c²)+c*(a²+b²)=
=a*(b²+c²)-2abc+b*(a²+c²)-2abc+c*(a²+b²)-2abc+6abc=
=a*(b²-2bc+c²)+b*(a²-2ac+c²)+c*(a²-2ab+b²)+6abc=
=a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²+6abc
первые три слагаемых (произведение неотрицательного числа на квадрат разности - тоже неотрицательное число) неотрицательны, и их сумма тоже, то есть
a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²≥0 (прибавим в право и влево 6abc
a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²+6abc≥6abc
подставив представление (левой части) получим
что и требовалось доказать