Question

$sqrt[3]{x} +sqrt[3]{2x+6} =sqrt[3]{3x+24}$

Answer 1

Пусть $sqrt[3]{x}=a, sqrt[3]{2x+6}=b, sqrt[3]{3x+24}=c$. Тогда

$a+b=c\(a+b)^3=c^3\a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3\a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3$

Заменим a + b на c:

$3abc=c^3-a^3-b^3\3sqrt[3]{x(2x+6)(3x+24)}=3x+24-x-2x-6\ 3sqrt[3]{6x(x+3)(x+8)}=18\ sqrt[3]{6x(x+3)(x+8)}=6\ 6x(x+3)(x+8)=216\ x(x+3)(x+8)=36\ x^3+11x^2+24x-36=0$

Заметим, что x = 1 - корень уравнения. Тогда разделим $x^3+11x^2+24x-36$ на $x-1$ (см. картинку). Получим $x^2+12x+36=(x+6)^2$. Тогда уравнение будет иметь вид:

$(x-1)(x+6)^2=0\x=-6;1$

Так как производилась замена a + b на c, могли появиться посторонние корни. Сделаем проверку:

x = -6:

$sqrt[3]{-6}+sqrt[3]{2*(-6)+6}=sqrt[3]{3*(-6)+24}\ sqrt[3]{-6}+sqrt[3]{-6}=sqrt[3]{6}\-2sqrt[3]{6}=sqrt[3]{6}$

Равенство не выполнилось - корень не подходит.

x = 1:

$sqrt[3]{1}+sqrt[3]{2+6}=sqrt[3]{3+24}\sqrt[3]{1}+sqrt[3]{8}=sqrt[3]{27}\1+2=3\3=3$

Равенство выполнилось - корень подходит.

Ответ: 1

Answer 2

Он сам ее придумал. Доказательство довольно простое, Вы можете попробовать его придумать.

Answer 3

Кстати, я не понял, что Вы изменили в решении

Answer 4

>Так как производилась замена a + b на c, могли появиться посторонние корни. Сделаем проверку:

Answer 5

Понял. Спасибо за беседу. А сейчас пора и на боковую. Спокойной ночи

Answer 6

И Вам спокойной ночи.