Question

Уравнение $sqrt[3]{F(x)}+sqrt[3]{G(x)}+sqrt[3]{H(x)}=0$ часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение

$F(x)+G(x)+3sqrt[3]{F(x)cdot G(x)}left(sqrt[3]{F(x)}+sqrt[3]{G(x)}right)=-H(x).$

С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на $-sqrt[3]{H(x)},$ получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение

$F(x)+G(x)+H(x)=3sqrt[3]{F(x)cdot G(x)cdot H(x)}.$
Пусть $x_0$ - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда

$F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)not= 0.$

Answer 1

Необходимость: Дано уравнение $sqrt[3]{F(x)} + sqrt[3]{G(x)} + sqrt[3]{H(x)} = 0$. Дан $x_0$ - корень уравнения $F(x) + G(x) + H(x) = 3sqrt[3]{F(x)G(x)H(x)}$ и $sqrt[3]{F(x_0)} + sqrt[3]{G(x_0)} + sqrt[3]{H(x_0)} neq 0$.

Доказать что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) neq 0$.

Предположим что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) = 0$.

Тогда, $sqrt[3]{F(x_0)} + sqrt[3]{G(x_0)} + sqrt[3]{H(x_0)} = 0$. Противоречие.

Предположим, что равенство не выполняется. Тогда $F(x) + G(x) + H(x) neq 3F(x_0) text{ or } 3G(x_0) text{ or } 3H(x_0)$ и $3sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)} neq 3F(x_0) text{ or } 3G(x_0) text{ or } 3H(x_0)$.

Следовательно, не будет выполнятся $F(x_0) + G(x_0) + H(x_0) neq 3sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)}$. Но $x_0$ корень данного уравнения. Противоречие.

Достаточность: $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) neq 0$.

Тогда

$sqrt[3]{F(x_0)} + sqrt[3]{G(x_0)} + sqrt[3]{H(x_0)} = 3sqrt[3]{F(x_0)} neq 0$

Answer 2

Насколько я понял, Вы доказываете необходимость от противного. Но почему Вы решили, что противное - это F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)=0?

Answer 3

Сначала предполагаем что все функции равны нулю, потом что хотя бы одна функция отлична от другой

Answer 4

Так что - Вы утверждаете, что у Вас правильное решение?

Answer 5

Предположим обратное: x₀ является корнем уравнения. Тогда F(x₀) = G(x₀) = H(x₀) = N, N ≠ 0. Тогда получаем, что в исходном уравнении $sqrt[3]{N}+sqrt[3]{N}+sqrt[3]{N}=3sqrt[3]{N}=0$. Раз N ≠ 0, то и $sqrt[3]{N} neq 0$. Получается, что ни один из множителей не равен нулю, но произведение в итоге стало нулём. Получили противоречие, значит, такого быть не может - x₀ не является корнем уравнения.

Answer 6

Честно говоря, я не понял Ваше доказательство

Answer 7

Я принял значение F(x0) (а соответственно и G(x0), и H(x0)) за N, при этом N не должно быть равным нулю по условию. Подставляем это N в исходное уравнение и получаем с одной стороны произведение двух отличных от нуля чисел, а с другой стороны ноль. Логично, что такого быть не может.

Answer 8

Вы не обратили внимания, что требуется доказать, что это необходимые и достаточные условия