Question

решить систему уравнений

Answer 1

Решить систему уравнений.

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\x + y = 28.end{cases}$

Второе уравнение системы распишем, как сумму кубов.

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\left(sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y}right)left(sqrt[3]{x^2} - sqrt[3]{xy} + sqrt[3]{y^2}right) = 28.end{cases}$

Подставим первое уравнение системы во второе.

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\4*left(sqrt[3]{x^2} - sqrt[3]{xy} + sqrt[3]{y^2}right) = 28;end{cases}$

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\sqrt[3]{x^2} - sqrt[3]{xy} + sqrt[3]{y^2} = 7.end{cases}$

Переделаем второе уравнение системы, чтобы получить разность квадратов.

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\left(sqrt[3]{x^2} + 2sqrt[3]{xy} + sqrt[3]{y^2}right) - 3sqrt[3]{xy} = 7;end{cases}$

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\left(sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y}right)^2 - 3sqrt[3]{xy} = 7;end{cases}$

Снова используем первое уравнение во втором.

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\4^2 - 3sqrt[3]{xy} = 7;end{cases}$

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\-3sqrt[3]{xy} = 7 - 16;end{cases}$

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\3sqrt[3]{xy} = 9;end{cases}$

$begin{cases}sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 4,\sqrt[3]{xy} = 3;end{cases}$

Выразим из первого уравнения одно из слагаемых.

$begin{cases}sqrt[3]{x} = 4 - sqrt[3]{y},\sqrt[3]{x}*sqrt[3]{y} = 3;end{cases}$

Подставляем первое уравнение во второе.

$(4 - sqrt[3]{y})*sqrt[3]{y} = 3;\4sqrt[3]{y} - sqrt[3]{y^2} = 3;\-sqrt[3]{y^2} + 4sqrt[3]{y} - 3 = 0;\sqrt[3]{y^2} - 4sqrt[3]{y} + 3 = 0.$

Введём замену переменных $sqrt[3]{y} = t$ и решим квадратное уравнение.

$t^2 - 4t + 3 = 0;\D = [b^2 - 4ac] = (-4)^2 - 4*3 = 16 - 12 = 4 = 2^2;\\t_{1,2} = left[dfrac{-bpm sqrt{D}}{2a}right] = dfrac{4pm 2}{2} = 2pm 1 = left[begin{array}{c}1,\3.end{array}$

Вернёмся к замене.

$left[begin{array}{c}sqrt[3]{y_1} = 1,\sqrt[3]{y_2} = 3;end{array}$

$left[begin{array}{c}y_1 = 1,\y_2 = 27.end{array}$

Подставим полученное в первое уравнение системы.

$left[begin{array}{c}sqrt[3]{x_1} + sqrt[3]{1} = 4,\sqrt[3]{x_2} + sqrt[3]{27} = 4;end{array}$

$left[begin{array}{c}sqrt[3]{x_1} + 1 = 4,\sqrt[3]{x_2} + 3 = 4;end{array}$

$left[begin{array}{c}sqrt[3]{x_1} = 3,\sqrt[3]{x_2} = 1;end{array}$

$left[begin{array}{c}x_1 = 27,\x_2 = 1.end{array}$

Таким образом, получаем два ответа:

1) x₁ = 27; y₁ = 1.

2) x₂ = 1; y₂ = 27.

Ответ: (27; 1); (1; 27).

Answer 2

Получилось чуть-чуть длинно, прошу прощения, если излишне сильно расписывал мелочи)

Answer 3

наоборот. это хорошо

Answer 4

Спасибо большое)

Answer 5

Пожалуйста)

Answer 6

"Переделаем второе уравнение системы, чтобы получить разность квадратов." На самом деле квадрат суммы.