Question

Найдите все натуральные числа N<10000 такие, что N=26*S(N), через S(N) обозначается сумма цифр числа N

Answer 1

Известно, что число и сумма цифр числа дают одинаковые остатки при делении на 9. N = 26 * S(N) = 27 * S(N) - S(N), поэтому N делится на 9. Добавляем к этому то, что N делится на 26 и находим, что N делится на 234.

Пусть N - k-значное число. Это значит, что N >= 10^(k - 1), а S(N) <= 9k. Подставляем в равенство из условия:

10^(k - 1) <= N = 26 * S(N) <= 234k

10^(k - 1) <= 234k

Этому неравенству удовлетворяют только k = 1, 2 или 3; при k = 4 равенство неверно (1000 > 234 * 4), большие k тоже не подойдут: при увеличении k на 1 к левой части прибавляется не меньше 9000, к правой - 234.

Итак, могут подойти только 234, 2 * 234 = 468, 3 * 234 = 702 и 4 * 234 = 936. Проверяем:

• N = 234: S(N) = 2 + 3 + 4 = 9. N = 26 * 9, подходит!
• N = 468: S(N) = 18. N = 26 * 18, подходит!
• N = 702: не подходит
• N = 936: не подходит

Ответ: 234, 468.