Question

На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые два числа, стереть их, а вместо них записать на доску их разность (из большего вычитается меньшее). При этом на доске не должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое наименьшее число может остаться на доске?

Answer 1

Для любого набора из n чисел на доске рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел, уменьшенную на n. Нетрудно проверить, что это – инвариант. В наборе из условия  X = (1 + 2 + ... + 20) – 20 = 190.  После 19 операций, когда на доске останется одно число p,  X = p – 1.  Значит,  p = 191.

Ответ: 191.

Answer 2

Там же числа от 1 до 20, как получилось 191?