Question

Решите тригонометрические уравнения 3,4,5
Нужно с решением
3) sin 3x sin 2x - cos 3x cos 2x =1
4) 1 - cos x = sin x/2
5) 2cos^2 x + sin x + 1 = 0

Answer 1

3.

$sin3xsin2x-cos3xcos2x=1\cos3xcos2x-sin3xsin2x=-1\cos(3x+2x)=-1\cos5x=-1\5x=pi+2pi n\boxed{x=dfrac{pi}{5}+ frac{2pi n}{5}, ninmathbb{Z}}$

4.

$1-cos x=sindfrac{x}{2}\\left(cos^2dfrac{x}{2}+sin^2dfrac{x}{2}right)-left(cos^2dfrac{x}{2}-sin^2dfrac{x}{2}right)=sindfrac{x}{2}\\2sin^2dfrac{x}{2}-sindfrac{x}{2}=0\\sindfrac{x}{2}left(2sindfrac{x}{2}-1right)=0$

Решаем первое уравнение:

$sindfrac{x}{2}=0\\dfrac{x}{2}=pi n \\boxed{x_1=2pi n, nin mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение:

$2sindfrac{x}{2}-1=0\\sindfrac{x}{2}=dfrac{1}{2}\\dfrac{x}{2}=(-1)^kdfrac{pi}{6} +pi k\\ boxed{x_2=(-1)^kdfrac{pi}{3} +2pi k, kin mathbb{Z} }$

5.

$2cos^2x+sin x+1=0\2(1-sin^2x)+sin x+1=0\2-2sin^2x+sin x+1=0\-2sin^2x+sin x+3=0\2sin^2x-sin x-3=0\D=(-1)^2-4cdot2cdot(-3)=25\sin xneq dfrac{1+5}{2cdot2}=dfrac{3}{2} >1\\sin x=dfrac{1-5}{2cdot2}=-1Rightarrow boxed{x=-frac{pi}{2} +2pi n, nin mathbb{Z}}$