Question

диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника.Докажите, что произведение площадейдвух противоположных треугольников равно произведению двух других треугольников 16 б даю

Answer 1

Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Опустим перпендикуляры BE и DF на отрезок AC. Выпишем формулы площадей треугольников (половина высоты на основание):

$S_{AOD} =frac{1}{2} *AO*DF\S_{DOC} =frac{1}{2} *OC*DF\S_{AOB} =frac{1}{2} *AO*BE\S_{BOC} =frac{1}{2} *OC*BE$

Найдем произведение площадей треугольников:

$S_{AOD} *S_{BOC} =frac{1}{2} *AO*DF*frac{1}{2} *OC*BE=frac{1}{4} *AO*DF*OC*BE\=frac{1}{2} *AO*BE*frac{1}{2} *OC*DF=frac{1}{4} *AO*DF*OC*BE$

Т.к. равны правые части равенств, то равны и левые:

$S_{AOD} *S_{BOC}=S_{AOB} *S_{DOC}$

что и требовалось доказать.