Question

проверочное слово к слову развеваюся

Answer 1

Проверочное слово - веять

Answer 2

Есть 2 РАЗНЫХ по значению, но похожих по написанию слова
развИваюся, например, растения, от слова развИтие, и
развЕваются, например, флаги на ветру, от слова вЕять.

Так что выбирай, что там у тебя по контексту.