Question

$bfdisplaystyle log_{3}(9^{x + frac{3}{2}}+4)-log_{3}(10^{5} - 3^{x+frac{5}{2}})=x-frac{1}{2}$

Answer 1

Очевидно, что сумма корней равна -2. Ладно шучу, не очевидно.

Используем в левой части и правой части свойства логарифмов:

$log_3frac{9^{x+frac{3}{2}}+4}{10^5-3^{x+frac{5}{2}}} =log_3 3^{x-frac{1}{2}}\frac{9^{x+frac{3}{2}}+4}{10^5-3^{x+frac{5}{2}}}=3^{x-frac{1}{2}}\frac{27cdot3^{2x}+4}{10^5-9sqrt{3}cdot3^{x}}=frac{3^x}{sqrt{3}} \3^x=t\27sqrt{3}t^2+4sqrt{3}=10^5t-9sqrt{3}t^2\36sqrt{3}t^2-10^5t+4sqrt{3}=0$

Очевидно, что это квадратное уравнение имеет действительные корни, причем по теореме Виета:

$t_1cdot t_2=frac{4sqrt{3}}{36sqrt{3}} =frac{1}{9}$

Возвращаемся к иксу:

$3^{x_1}cdot 3^{x_2}=frac{1}{9} \3^{x_1+x_2}=3^{-2}\x_1+x_2=-2$

Answer 2

Молодец.