Question

упростить факториал 1/2!+2/3!+3/4!+...+2006/2007!

Answer 1

Запишем эту сумму для произвольного числа слагаемых:

$S(k)=frac{1}{2!} +frac{2}{3!} +frac{3}{4!} +...+frac{k}{(k+1)!}$

Вычислим значения S(k) для нескольких значений k:

$S(1)=frac{1}{2!} =frac{1}{2}= frac{2!-1}{2!} \S(2)=frac{1}{2} +frac{2}{3!} =frac{5}{6}=frac{3!-1}{3!} \S(3)=frac{5}{6}+frac{3}{4!}=frac{23}{24} =frac{4!-1}{4!}$

Тогда можно предположить, что

$S(k)=frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}=1-frac{1}{(k+1)!}$

Но это ещё надо доказать. Используем индукцию. Выше было показано, что равенство верно для первых 3 натуральных k. Докажем, что из справедливости равенства для k=n следует справедливость равенства для k=n+1, тогда равенство можно будет считать справедливым для всех натуральных k.

Итак, предположим, что справедливо равенство

$frac{1}{2!} +frac{2}{3!} +frac{3}{4!} +...+frac{n}{(n+1)!}=1-frac{1}{(n+1)!}$

Проверим, верно ли, что

$frac{1}{2!} +frac{2}{3!} +frac{3}{4!} +...+frac{n}{(n+1)!}+frac{n+1}{(n+2)!}=1-frac{1}{(n+2)!}$

Подставляем сюда предыдущее выражение:

$1-frac{1}{(n+1)!}+frac{n+1}{(n+2)!}=1-frac{1}{(n+2)!}\frac{n+2}{(n+2)!}=frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{(n+1)!}=frac{1}{(n+1)!}$

Получили верное равенство. Теперь можно вычислить значение нашей суммы:

$S(2006)=1-frac{1}{2007!}$