Question

Решить логарифмическое неравенство с ОДЗ

Answer 1

ОДЗ: $begin{equation*}begin{cases} frac{2x+2}{5x-1}>0\ frac{2x+2}{5x-1} neq 1\ 5x-1neq 0\ 10x^2+x-2>0 end{cases}end{equation*} Rightarrow begin{equation*}begin{cases} xin(-infty; -1)cup(0.2; +infty)\ x neq 1\ xneq 0.2\ xin(-infty; -0.5)cup(0.4; +infty) end{cases}end{equation*}Rightarrow\ Rightarrow xin(-infty; -1)cup(0.4; 1)cup(1; +infty)$

Воспользуемся следующим методом рационализации:

$log_{A}{B} vee log_{A}{C} Leftrightarrow (A-1)(B-C)vee 0$

В частности, так как $0=log_{A}{1}$, $log_{A}{B} vee 0 Leftrightarrow (A-1)(B-1)vee 0$

Тогда исходное неравенство станет равносильным неравенству:

$(frac{2x+2}{5x-1}-1)(10x^2+x-2-1)leq 0\ frac{3-3x}{5x-1}*(10x^2+x-3)leq 0\ frac{(x-1)(5x+3)(2x-1)}{5x-1} geq 0$

Решим неравенство методом интервалов (см. рис.). Получим, что $xin(-infty; -0.6]cup(0.2; 0.5]cup[1; +infty)$

Объединяя полученный промежуток с ОДЗ, получим ответ.

Ответ: $xin(-infty; -1)cup(0.4; 0.5]cup(1; +infty)$