Question

Помогите решить интеграл $frac{2u^{3} - u} {- 2 -2u} du$

Answer 1

1/6(-2u^3+3u^2-3u+3log(u+1)-8
3log2-2/6

Answer 2

В подынтегральной дроби старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя. Для того чтобы разбить эту дробь, нужно поделить с остатком многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно делить столбиком, но в простых случаях легче сделать по другому. Расписывать все буду дьявольски подробно, на самом деле половина этих действий делается в уме:

$frac{-2u^3-u}{-2-2u} =-frac{1}{2}left( frac{2u^3-u}{u+1} right)=-frac{1}{2}left( frac{2u^2(u+1)-2u^2-u}{u+1} right)=-frac{1}{2}left( frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+u}{u+1} right)=\=-frac{1}{2}left( frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+(u+1)-1}{u+1} right)=(*)$

Теперь почленно делим числитель на знаменатель:

$(*)=-frac{1}{2}left(2u^2-2u+1- frac{1}{u+1} right)$

Это выражение уже легко проинтегрировать. Итак:

$displaystyleintfrac{2u^3-u}{-2-2u} du=-frac{1}{2}displaystyleintleft(2u^2-2u+1- frac{1}{u+1} right)du=-frac{1}{2} left(frac{2u^3}{3}-u^2+u+c_1-displaystyleintfrac{d(u+1)}{u+1} right)=-frac{1}{2}left(frac{2u^3}{3}-u^2+u-ln|u+1|+C right)$

Чтобы проверить правильный ли мы получили ответ, возьмём от него производную:

$frac{d}{du} left[-frac{1}{2}left(frac{2u^3}{3}-u^2+u-ln|u+1|+C right)right]=-frac{1}{2}left(2u^2-2u+1-frac{1}{u+1} right)=\=-frac{1}{2}left(frac{2u^3+2u^2-2u^2-2u+u+1-1}{u+1} right)=frac{2u^3-u}{-2-2u}$

Всё верно.