Question

$sqrt{x} - sqrt{y} = log_{3}( frac{y}{x} )$
в скобках с
${2}^{x + 2} + {8}^{x} = 5 times {4}^{y}$

Answer 1

$left { {{sqrt{x}-sqrt{y}=log_3left(frac{y}{x}right)} atop {2^{x+2}+8^x=5cdot 4^y}} right.$ Разберемся сначала с первым уравнением, начав с ОДЗ. $xge 0; yge 0; xnot=0; frac{y}{x}>0.$ Окончательно ОДЗ выглядит так: $left { {{x>0} atop {y>0}} right.$. На ОДЗ первое уравнение можно переписать так:

$sqrt{x}-sqrt{y}=log_3 y-log_3 x; sqrt{x}+log_3 x=sqrt{y}+log_3 y.$

Рассмотрим функцию $F(t)=sqrt{t}+log_3 t,$ являющуюся возрастающей как сумма двух возрастающих функций. Наше уравнение может быть записано в виде $F(x)=F(y)$, а поскольку возрастающая функция каждое свое значение принимает ровно один раз, отсюда следует, что  x=y. Подставив  x во второе уравнение вместо y, получаем уравнение $4cdot 2^x+2^{3x}=5cdot 2^{2x},$ а заменив $2^x$ на p>0, получаем уравнение $p^3-5p^2+4p=0,$ а раз $pnot=0$, сводим к уравнению $p^2-5p+4=0; left [ {{p=1} atop {p=4}} right.$. p=1 приводит к x=0, что не подходит по ОДЗ, p=4 приводит к x=2, откуда и y=2. Делаем на всякий случай проверку. Первое уравнение дает 0=0, второе дает 80=80 - верно.

Ответ: $left { {{x=2} atop {y=2}} right.$