Question

Нужна помощь с алгеброй (см. фото)!

Answer 1

$f(x) = dfrac{x^{2} + 2x + 3}{sqrt{dfrac{1}{x}}} = dfrac{x^{2} + 2x + 3}{x^{-0,5}} = ({x^{2} + 2x + 3)x^{0,5} = x^{2,5} + 2x^{1,5} + 3x^{0,5}$

1) Определим первообразную данной функции:

$F(x) = dfrac{x^{2,5 + 1}}{2,5 + 1} + 2 cdotp dfrac{x^{1,5 + 1}}{1,5 + 1} + 3 cdotp dfrac{x^{0,5 + 1}}{0,5 + 1} + C = dfrac{x^{3,5}}{3,5} + dfrac{2x^{2,5}}{2,5} + dfrac{3x^{1,5}}{1,5} + C = \\= dfrac{2x^{3}sqrt{x}}{7} + dfrac{4x^{2}sqrt{x}}{5} + 2xsqrt{x} + C = dfrac{10x^{3}sqrt{x} + 28x^{2}sqrt{x} + 70xsqrt{x}}{35} + C = \\= dfrac{2xsqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} + C$

То есть $F(x) = dfrac{2xsqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} + C$

Координаты точки А имеют вид: $A (x; F(x))$

Подставляя значения точки А в первообразную, получим:

$dfrac{3}{35} = dfrac{2 cdotp 1sqrt{1}(5 cdotp 1^{2} + 14 cdotp 1 + 35)}{35} + C\\dfrac{3}{35} = dfrac{108}{35} + C\\C = dfrac{3}{35} - dfrac{108}{35} = dfrac{3 - 108}{35} = -dfrac{105}{35} = -3$

Теперь первообразная примет вид:

$F(x) = dfrac{2xsqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} - 3$

Следовательно, $F(0) = dfrac{2 cdotp 0sqrt{0}(5 cdotp 0^{2} + 14 cdotp 0 + 35)}{35} -3 = -3$

Ответ: -3

2) Определим площадь криволинейной трапеции, пользуясь формулой $S = F(x) | leftbegin{array}{ccc}b\aend{array}right = F(b) - F(a)$

$S = F(x) | leftbegin{array}{ccc}4\1end{array}right = bigg(dfrac{2xsqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35}bigg) | leftbegin{array}{ccc}4\1end{array}right = \\= dfrac{2 cdotp 4sqrt{4}(5 cdotp 4^{2} + 14 cdotp 4 + 35)}{35} - dfrac{2 cdotp 1sqrt{1}(5 cdotp 1^{2} + 14 cdotp 1 + 35)}{35} = \\= dfrac{2 cdotp 8 (80 + 56 + 35) - 2(5 + 14 + 35)}{35} = dfrac{16 cdotp 171 - 2 cdotp 54}{35} = \\ = dfrac{2736 - 108}{35} = dfrac{2628}{25} = 75 dfrac{3}{35}$

Округленное число до целых будет составлять 75 кв. ед.

Ответ: 75